闡明：《高中數(shù)學(xué)選修課》教材第3卷第11頁，提到了斐波那契數(shù)列通項(xiàng)的公式，但沒有提供證據(jù)，這里我拿出我很久之前寫的一篇證明文章，供大家分享。這是一種不需要太多其他知識作為基礎(chǔ)的證明方法，與其他方法相比，這是一個(gè)比較簡單的證明。

有一個(gè)數(shù)字序列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、……。此序列從第 3 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。這個(gè)數(shù)列被稱為“斐波那契數(shù)列”，也稱為黃金分割序列。由數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子飼養(yǎng)為例介紹，因此，它也被稱為“兔子序列”。

斐波那契在 1202 年出版的《計(jì)算書》中設(shè)計(jì)了一個(gè)有趣的算術(shù)問題，稱為“兔子算術(shù)”，內(nèi)容如下：有一對公兔和母兔，兔子長到2個(gè)月大后，如果每個(gè)月生一對公兔和母兔，打擾一下：一年會有多少對兔子？

斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在我們眼前。例如：松果、菠蘿、葉子的排列，某些花的花瓣數(shù)量（通常是向日葵花瓣），蜂窩，蜻蜓的翅膀，超越數(shù) e，黃金矩形、黃金分割、等角螺旋，十二平等律等。

有趣的是，這樣一個(gè)完全自然數(shù)的序列，通式用無理數(shù)表示。當(dāng)數(shù)列趨于無窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比例越來越接近黃金比例（約等于1.第618章）。例如：5÷3＝1.第666章，21÷13＝1.615，34÷21＝1.619，……。到后面去，得到的結(jié)果越來越接近黃金比例（φ）。

在下面，我們來證明一下斐波那契數(shù)列的通式是如何得到的。

由黃金比例的定義可以推導(dǎo)出來：

這個(gè)方程有兩個(gè)解，其中之一是正確答案，現(xiàn)在：φ＝(1＋√5)/2≈1:618。

等式兩邊同時(shí)乘以 φ，我們可以得到下面的公式：

如果用Fn來表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，那么我們可以將上式進(jìn)一步改寫為：

然后，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明：

然后，我們將上面第一個(gè)方程的兩個(gè)根代入這個(gè)方程，得到：

將兩個(gè)方程相減，我們可以得到：

所以，我們可以得到斐波那契數(shù)列的一般公式：

當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，有

這就證明了上面所說的“當(dāng)數(shù)列趨于無窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比例越來越接近黃金比例。”。

我們還可以通過構(gòu)造一個(gè)矩形來導(dǎo)出黃金比例。如下所示：

根據(jù)斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，我們可以得到：

但

于是就推出了：

現(xiàn)在：

終于，我們通過技術(shù)可以得到如下結(jié)果（證明過程略過）：

這個(gè)公式也可以用圖形來表示：